Қимати интеграли муайяни зерин бо истифодаи формулаи Нютон - Лейбнитс ёфта шавад:
\[\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x.\]

Ҳал. Аз тағйирёбандаи \(x\) ба тағйирёбандани \(t\) бо чунин тарз мегузарем:

\[
{t = 1-x^2}\;\;
{\Rightarrow dt = -2x\,dx}\;\;
{\Rightarrow x\,dx = -\frac{1}{2}dt.}
\]

\[
{\sqrt{1-x^2} = \sqrt{t}.}
\]

Аз ин ҷо

\[\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{-1}{2\sqrt{t}}\,dt = -\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{t}}\,dt = \\= -\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t} + const = -\sqrt{t} + const = -\sqrt{1-x^2} + const.\]

Яъне,

\[\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\sqrt{1-x^2}\Bigr|^{1}_{-1} = 0 - 0 = 0,\]

чунки

\(-\sqrt{1-1^2} = -\sqrt{1-1}= -\sqrt{0} = 0.\)

\(-\sqrt{1-(-1)^2} = -\sqrt{1-1}= -\sqrt{0} = 0.\)

Ҷавоб:

\[\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = 0.\]